Понятная информатика,

Системы счисления

(Статья "Системы счисления. Методика преподавания темы на уроках в 8–11-х классах с углубленным изучением информатики для подготовки к ГИА" и презентация к ней -  лауреаты конкурса презентаций к уроку, опубликованы на сайте "1 Сентября. Открытый урок" 15.10.2019г.)  Есть вопросы - пишите !

 

 

Система счисления  или нумерация – это способ записи (обозначения) чисел.

 

Возьмем это за основу работы с разными системами счисления, поскольку только способ записи у них будет разный, а все закономерности одинаковые. Поэтому в случае возникновения трудностей в понимании темы обращаемся к десятичной системе счисления и переносим аналог на остальные.

 

Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность – алфавитом системы счисления.  Количество цифр, составляющих алфавит, называется основанием (размерностью) системы счисления.  

 

Число в любой системе счисления состоит из цифр, входящих в алфавит этой системы, при этом цифра всегда занимает одну позицию числа.

 

Основание алфавита указывается в виде индекса числа, записанного в десятичной системе счисления, например:   1011₂,  152₈,  1А7₁₆.

 

Индекс десятичной системы счисления обычно не указывается, так как она принята всеми к использованию  по умолчанию.

 

Обратим внимание, что

• наименьшей цифрой в любой системе счисления является ноль, а наибольшая цифра всегда на единицу меньше основания.

В системе счисления, которой мы пользуемся в повседневной  жизни – 10 цифр (от 0 до 9), и поэтому такая система счисления называется десятичной.

Аналогично, если в системе счисления будет две цифры (0 и 1), то она называется двоичной, восемь цифр (от 0 до 7) – восьмеричной и т.д.

Основание системы счисления обозначается индексом рядом с числом, например: 102₈, 101₂ и т.д. При этом основание десятичной системы счисления можно не указывать (будем использовать то, что всем нам привычно - "по умолчанию").

 

Системы счисления бывают двух видов - позиционные и непозиционные.

 

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от ее разряда – позиции в записи числа.

Например, запишем одинаковыми цифрами несколько разных чисел:

                            1234 = 1 тысяча + 2 сотни + 3 десятка + 1 единица

                            3124 = 3 тысячи + 1 сотня + 2 десятка + 4 единицы

                            4321 = 4 тысячи + 3 сотни + 2 десятка +1 единица.

 

Как  и в привычной  нам десятичной, так и в любой другой позиционной системе счисления значение числа образуется суммой результатов умножения цифр на «веса»  (степени основания) соответствующих разрядов.

Например,  

                            3948 = 3*1000+9*100+4*10+8*1 = 3*10³+9*10²+4*10¹+8*10⁰

                            1011₂ = 1*2³+0*2²+1*21+1*2⁰    или  1011₂ = 1*20+1*2¹+0*2²+1*2³   

(далее я буду пользоваться последней приведенной в примере формой записи, чтобы не делать лишних действий и не нумеровать степени двойки слева направо для их правильного использования).

При этом форма записи числа в виде 3948 называется свернутой, а в виде 3*10³+9*10²+4*101+8*10⁰   -  развернутой формой записи числа.

 

Примером непозиционных систем могут служить древнеегипетская, древнеславянская или римская система счисления. 

Так в римской системе счисления из двух цифр X - десять  и I - один можно составить числа: XI (одиннадцать),  IX (девять),  XIX (девятнадцать) или другие, но во всех них значения цифр в зависимости от занимаемых позиций не меняются, а значение числа получается разным при смене порядка следования цифр друг за другом.

 

Будем называть позиционные системы счисления дружественными (родственными), если в основании у них лежит одно и то же число, но в разных степенях. При этом «дружат» они через систему счисления с основанием в первой степени.

 

Например, двоичная, четверичная, восьмеричная и шестнадцатеричная  системы счисления «дружат» через двоичную, т.к.  в основании у них лежит число  2,  но в разных степенях:   

                            2=2¹,     4=2²,    8=2³,    16=2⁴  

 

Будем считать, что десятичная  система счисления не дружит ни с какой другой,  так как ближайшая к ней система счисления с основанием 10²=100  в практических вычислениях  нам не встречается.

 

Правила перевода между различными системами счисления делятся на две группы – между дружественными системами и недружественными.

 

Перевод между недружественными системами счисления всегда выполняется через десятичную систему следующим образом:

• из десятичной системы счисления в любую – делением исходного числа на основание системы счисления, в которую переводим; при этом остатки от деления и последнее частное должны быть меньше этого основания. Частное и остатки от деления собираются справа налево;
• из любой системы счисления в десятичную - умножением  цифр на «веса»  (степени основания) соответствующих разрядов и все полученные значения складываются.

Пример перевода десятичного числа  25 в двоичную систему счисления показан на рис.1.  

Собрав частное с остатками справа налево, получаем:

                   25₁₀ = 11001₂    и обратно  11001₂ = 1*2⁰+0*2¹+0*2²+1*2³+1*2⁴  = 25                      

 

Для быстрого и  точного перевода между дружественными  (и только между ними!) двоичной, восьмеричной  и шестнадцатеричной системами счисления построим таблицу соответствия десятичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел двоичным, которую мои ученики называют  таблицей «дружбы» (рис.2). Левая часть этой таблицы включает цифры восьмеричной системы счисления, а правая дополняет ее для всех цифр шестнадцатеричной системы счисления.  Заметим, что так как каждая цифра в любой системе счисления занимает только одну позицию (один разряд числа), то в шестнадцатеричной системе счисления для записи цифр со значением больше 9 (здесь11, 12, …, 15 – это цифры, занимающие при записи в числе две позиции вместо одной!) используют латинские заглавные буквы от A до F.

        

Данная таблица разделена двойными линиями в местах условного ее деления на дружественные системы счисления (двоичную, четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную).

При этом длина чисел в двоичной системе счисления зависит от степени двойки в основании дружественной системы счисления, т.е. для записи цифр двоичной системы счисления достаточно одного разряда (т.к. 2 = 2¹), четверичной - два (4 = 2²), восьмеричной (8 = 2³), а шестнадцатеричной – четыре (16=2⁴). 

 

Именно это позволяет легко осуществлять перевод между дружественными системами счисления, записывая каждую цифру восьмеричного числа соответствующей ему в таблице двоичной цифрой с учетом того, что длина двоичной цифры при этом строго соответствует степени двойки основания исходной системы счисления:

• 8=2³, то меняем одну восьмеричную цифру на три двоичные - триады,

• 16 = 2⁴, тогда меняем каждую шестнадцатеричную цифру на четыре двоичные  - тетрады,

дополняя их при необходимости до нужной длины незначащими нулями слева (добавление нулей справа от исходного числа является результатом умножения числа на 10, 100 и т.д., т.е. изменяет исходное число).

Например, на рис.3 показан перевод чисел 152₈  и 152₁₆ в  двоичную систему счисления с учетом этого правила. 

При этом показано, что первые нули можно не  указывать, т.к. они незначащие.

 

На рис.4  выполнен перевод из восьмеричной системы счисления в  шестнадцатеричную и обратно через двоичную систему счисления.

Перегруппировка двоичных разрядов по четыре и по три во второй части выражений выполняется  справа налево по количеству разрядов в степени результирующей системы счисления, а дальнейшая запись числа – как обычно, слева направо.

 

Теперь обратим внимание на несколько закономерностей, которые можно заметить в вышеприведенной таблице «дружбы»  и аналогичных ей таблицах других систем счисления, в том числе и десятичной.

 

Закономерность 1.

• Любое основание N в своей  системе счисления выглядит  как 10, т.е.

                                             N₁₀ = 10_N

           (2₁₀=10₂ – посмотрите в таблице, 8₁₀=10^₈, 16₁₀=10₁₆  и т.д.).

 

Закономерность 2.

• Степень любого основания N в своей  системе счисления выглядит как  единица и количество нулей,  равных  степени, т.е.  

                                     N^k =   10…0_N

                                                   ^k

           (посмотрите в таблице:  4=2²=100₂, 8=2³ =1000₂, тогда 16=2⁴=10000₂).

 

Закономерность 3.

• Число, стоящее перед k-той степенью основания, в своей системе счисления выглядит как последовательность из  k  самых больших цифр этой системы  счисления, т.е.

                                           N^k - 1 =    (N-1)…(N-1)_N

                                                                     ^k

                                  тогда      2k – 1 =  1…1₂   

                                                                 ^k                          

            (посмотрите в таблице:  3=2^₂-1=11₂, 7=2³ -1=111₂, тогда 15=2⁴-1=1111₂).

 

Закономерность 4.

• Длина числа при переводе десятичного числа в любую систему счисления N легко определяется по формуле:

                                                 N^L-1 ≤  Ch <  N^L

           где Ch – исходное число,

                 N – основание системы счисления, куда переводим;

                 L -  длина после перевода в систему счисления с основанием N

            (например: 

                               2²  ≤ 5 < 2³,  тогда при переводе в двоичную систему счисления длина числа  будет

                                                  равна 3, посмотрите в таблице:   5=101₂;

                               2³  ≤ 13 < 2⁴,  тогда при переводе в двоичную систему счисления длина числа будет

                                                    равна 4,  посмотрите в таблице:   13=1011₂).

 

Если закономерности 1, 2 и 3  применяются для быстрого и точного перевода чисел между системами счисления, то закономерность 4  используется для первичной проверки правильности перевода чисел из одной системы счисления в любую другую, что позволяет сэкономить время на проверке результата перевода и дает возможность  избежать ошибок.

 

Но использование закономерностей вместе со знанием таблиц степеней двойки и «дружбы»  дает нам еще ряд преимуществ!

 

Так, помня о нашем принципе быстрых и точных вычислений и в соответствии с закономерностями 2 и 3, рекомендуется выполнять перевод из десятичной системы счисления в двоичную  разложением  числа на степени двойки следующим образом. Вычитаем из числа  степень двойки, которая меньше числа, но  максимально приближенную к нему, Затем с остатком проделываем те же действия до тех пор, пока не разложим все число.

 

       Например:                  25 = 16 + 8 + 1 = 24 + 2³ + 2⁰                    (25 – 16 = 9 ;  9 = 8 + 1)

 

После этого,  заменяем присутствующие степени двойки единицами (в соответствии с закономерностью 2),  а пропущенные – нулями в порядке следования степеней, получая двоичную запись числа:

 

                                            25 = 16 + 8 + 1 = 2⁴ + 2³ + 2⁰  = 11001₂

 

(отсутствующие  вторую и первую степени двойки заменяем нулями).

 

На чем еще можно сэкономить время и избежать ошибок?

 

Например, для перевода большого двоичного числа в десятичную систему счисления можно использовать в качестве промежуточной восьмеричную или шестнадцатеричную  системы  счисления, тогда математических операций при переводе будет меньше:

                110011101₂  = 110 011 101₂  = 635₈   =  5*8⁰+3*8¹+6*8² = 5 + 24 + 384 = 413

или

                110011101₂  = 1 1001 1101₂  = 19D₁₆   =  13*16⁰+9*16¹+1*16² = 13 + 144 + 256 = 413

 

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Решим несколько задач из ОГЭ  по этой теме с использованием изложенных выше закономерностей.

 

Примечание.Так как любое число в нулевой степени равно единице, то при решении задач можно не писать основание в нулевой степени  в разряде единиц.

 

1. Переведите дво­ич­ное число 1110101 в де­ся­тич­ную систему счисления.

 

     Решение:      1110101₂= 1 110 101₂ = 165₈ =  5+6*8¹+1*8² =5+48+64=117

            Или:      1110101₂= 111 0101₂ = 75₁₆ =  5+7*16¹=5+112=117

     Ответ: 117

 

2. Переведите дво­ич­ное число 1100011 в де­ся­тич­ную систему счисления. В ответе укажите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

 

      Решение:      1100011₂= 110 0011₂ = 73₁₆ =  3+6*16¹=3+96=99  ( 1+2¹+2⁵+2⁶= 3+32+64=99)

      Ответ:  99

 

3. Переведите число 135 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число — количество единиц.

 

     Решение:                135 = 128+4+2+1= 27 + 22 + 21 + 20 

 

     Никаких лишних действий! Этот ответ получен без окончательного перевода числа в двоичную систему счисления, достаточно посчитать количество двоек в степенях. Это позволило сэкономить время решения задачи и избежать возможных ошибок при дальнейшей записи.

 

     Ответ:   4

 

4. Переведите число 125 из де­ся­тич­ной си­сте­мы счис­ле­ния в дво­ич­ную си­сте­му счисления. Сколь­ко еди­ниц со­дер­жит по­лу­чен­ное число? В от­ве­те ука­жи­те одно число —количество единиц.

 

      Решение:          125 = 127 – 2 = 1111111₂  -10₂ = 1111101₂

      Ответ:   6

 

5.  Переведите число FE из шест­на­дца­те­рич­ной си­сте­мы счис­ле­ния в дво­ич­ную си­сте­му счисления. В ответе укажите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

 

      Решение:     FE₁₆ =  1111 1110₂    (используем запись тетрадами из таблицы «дружбы»).

      Ответ: 11111110

 

6. Переведите число 143 из де­ся­тич­ной си­сте­мы счис­ле­ния в дво­ич­ную си­сте­му счисления. Сколь­ко зна­ча­щих нулей со­дер­жит по­лу­чен­ное число? В от­ве­те ука­жи­те одно число — ко­ли­че­ство нулей.

 

      Решение:    143 = 128+8+4+2+1 = 2⁷ + 2³ + 2² + 2¹ + 2⁰ , то пропущены всего три (6,5 и 4) степени двойки.

      Ответ:  3

 

7. Переведите число 305 из де­ся­тич­ной си­сте­мы счис­ле­ния в дво­ич­ную си­сте­му счисления. Сколь­ко еди­ниц со­дер­жит по­лу­чен­ное число? В от­ве­те ука­жи­те одно число — ко­ли­че­ство единиц.

 

       Решение:  305 = 256 + 32 + 16 + 1 

                  (305-256=49, 49 - 32=17=16+1)

                  ( т.к. в сложении участвуют всего 4 степени двойки, то результат будет содержать  всего 4

                    единицы.  Степени можно даже не писать)

       Ответ:  4

 

С вопросами, замечаниями или предложениями по теме обращайтесь ко мне на сайте звездина.рус через форму обратной связи,  в группе сайта Вконтакте или  пишите на электронную почту v_zvezdina@mail.ru.